Optische
Berechnungen, Interferometrie
Optical
Formulas, Interferometry
Copyright
Michael Koch 2005-2018
| 1.
Der Zusammenhang zwischen Z3 und der Fokus-Verschiebung
1. Relationship between Z3 and focus displacement Wenn ein Hohlspiegel oder ein Objektiv interferometrisch vermessen wird, dann ändert sich der Z3 Koeffizient wenn das Interferometer oder das Testobjekt entlang der optischen Achse verschoben wird. Der Zusammenhang wird durch diese Formel beschrieben: dz = -8 * Z3 * N^2 mit
Bei
Objektiven die in Autokollimation getestet werden ist N = Brennweite /
Durchmesser
Wenn
die Zernike-Koeffizienten so ermittelt wurden, dass sie sich auf den einfachen
Durchgang durch das Objektiv beziehen, dann muss der Faktor -8 durch einen
Faktor -16 ersetzt werden! (Beispiel: "double pass" in OpenFringe)
Herleitung: Ein sphärischer Spiegel mit Krümmungsradius R und Durchmesser D wird interferometrisch vermessen. In Fall 1 ist der Spiegel perfekt justiert, so dass Z3 Null ist. Die Pfeiltiefe des Spiegels kann nach folgender Näherung berechnet werden: S1 = D^2 / (8 * R) In Fall 2 wird der Spiegel entlang der optischen Achse um den Betrag dz verschoben. Die Pfeiltiefe S2 ist die Pfeiltiefe der Wellenfront, i dem Moment wenn sie die Kante des Spiegels erreicht. Sie unterscheidet sich von der Pfeiltiefe S1 des Spiegels. S2 = D^2 / (8 * (R - dz)) Die
Pfeiltiefe in der reflektierten Wellenfront muss 2 * (S1 - S2) sein. Das
entspricht dem Peak-to-Valley Fehler.
Z3 = S1 - S2 Das führt zu der Gleichung
D^2 ( 1 1
)
und daraus ergibt sich näherungsweise dz = -8 * Z3 * R^2 / D^2 was mit N = R / D vereinfacht werden kann zu dz
= -8 * Z3 * N^2
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| 2.
Astigmatismus im Bath-Interferometer
2. Astigmatism in the Bath interferometer Dieser
Artikel basiert auf dem folgenden Artikel von Dave Rowe:
Der
Krümmungsmittelpunkt des sphärischen Spiegels befindet sich im
Koordinatenursprung.
R
ist der Krümmungsradius des sphärischen Spiegels.
x,
y und z sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Spiegeloberfläche.
Man
könnte einwänden, dass die Koordinaten dieser Punkte nicht exakt
richtig sind, weil der Einfallswinkel auf dem Spiegel nicht exakt dem Ausfallswinkel
entspricht.
Es
gilt die Formel für die sphärische Oberfläche des Spiegels:
z^2 = R^2 - x^2 - y^2 L1
ist die Weglänge vom Brennpunkt 1 zum Punkt (x,y,z):
L1^2 = (x-b)^2 + y^2 + (z-f)^2 L2
ist die Weglänge vom Brennpunkt 2 zum Punkt (x,y,z):
L2^2 = (x+b)^2 + y^2 + (z+f)^2 Dies
kann geschrieben werden als:
L1^2
= L^2 - q
mit with L^2
= R^2 + b^2 + f^2
2L
ist der Abstand vom Brennpunkt 1 zum Punkt (0,0,R) plus dem Abstand zum
Brennpunkt 2.
L1
und L2 kann man nun als Reihe darstellen:
q q^2 q^3
5 q^4
q q^2 q^3
5 q^4
Der
uns interessierene Weglängen-Unterschied ist dann:
q^2 5 q^4
Man
beachte das Vorzeichen: Wenn OPD positiv ist, dann ist auch der Wellenfronf-Fehler
positiv.
Weiterhin
kann L durch R approximiert werden:
q^2 5 q^4
Wenn
man nun für q die ursprüngliche Definition einsetzt und ausmultipliziert,
dann erhält man:
b^2 x^2 f^2 z^2 2bfxz 5 b^4 x^4
5 f^4 z^4 5 b f^3 x z^3 5 b^3 f x^3 z
15 b^2 f^2 x^2 z^2
Nun
stellt sich die Frage, wie gross die einzelnen Terme typischerweise sind.
Wir nehmen folgende Zahlen an:
R
= 2000mm
Term
1 besteht aus einer Konstanten, Defokus und Astigmatismus. Dies ist der
einzige Term der in der Praxis relevant ist.
Wie gross ist der Zernike-Koeffizient für den Astigmatismus?
b^2 x^2
z[4] = r^2 * cos(2 * t) r
ist die normalisierte radiale Variable im Bereich [0..1]
Koordinatentransformation:
Coordinate
transformation:
a
ist die radiale Variable auf dem Spiegel im Bereich [0..D/2]
x^2 = a^2 - y^2
b^2
b^2
b^2
b^2
b^2
cos^2(t) = (1 + cos(2t)) / 2
b^2 ( 1 + cos(2t) )
b^2 b^2
Der
erste Term besteht aus Defokus und aus einer Konstanten, und interessiert
daher nicht.
Die
Variable a muss jetzt auf den Bereich [0..1] normalisiert werden:
a = r * (D/2)
b^2 D^2
Oder
wenn man den seitlichen Abstand der beiden Brennpunkte d = 2b betrachtet:
d^2 D^2
Durch
Koeffizientenvergleich ergibt sich:
b^2 D^2
oder or
d^2 D^2
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| 4.
Wie wirkt sich ein Fehler beim Durchmesser des Interferogramms aus?
4. Errors in the diameter of the interferogram Die Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
( r^4 r^6
5 r^8 )
Nehmen wir an der Durchmesser wird um den Faktor k falsch bestimmt: s = r * k Damit ergibt sich folgende Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
( s^4 s^6
5 s^8 )
Die Differenz ist dann:
( r^4 (1-k^4) r^6 (1-k^6) 5 r^8 (1-k^8)
)
Beispiele:
In
Worten: Ein Fehler von 1% bei der Bestimmung des Durchmessers erzeugt einen
Fehler von -4.1% bei der sphärischen Aberation.
Wie wirkt sich ein Fehler bei der Messung des Krümmungsradius aus? Die Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
( r^4 r^6
5 r^8 )
Ein
Fehler bei der Bestimmung des Krümmungsradius des Spiegels ist gleichbedeutend
mit einem Fehler in der Brennweite oder im Öffnungsverhältnis.
M = N * k Damit ergibt sich folgende Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
( r^4 r^6
5 r^8 )
Die Differenz ist dann:
( r^4 r^4
r^6 r^6
5 r^8 5 r^8
)
oder
( r^4 r^4 k^-3
r^6 r^6 k^-5
5 r^8 5 r^8 k^-7
)
oder
( r^4 (1 - k^-3) r^6 (1 - k^-5) 5 r^8 (1 - k^-7)
)
Beispiele:
In
Worten: Ein Fehler von 1% bei der Bestimmung des Öffnungsverhältnis
erzeugt einen Fehler von -2.9% bei der sphärischen Aberation.
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
|
| 5.
Laser-Foucault-Test 5. Laser
Foucault Test
Beim
Laser-Foucault-Test wird das Interferometer entlang der Z-Achse bewegt
und es werden mehrere Interferogramme gemacht.
Dabei werden nur die rotations-symmetrischen Zernike-Polynome betrachtet: Z3
= 2 r2 - 1
Die gemittelte rotationssymmetrische Form der Spiegel-Oberfläche ist also: OPD = z3 (2 r2 - 1) + z8 (6 r4 - 6 r2 + 1) + z15 (20 r6 - 30 r4 + 12 r2 - 1) oder OPD = r6 (20 z15) + r4 (-30 z15 + 6 z8) + r2 (12 z15 - 6 z8 + 2 z3) + (-z15 + z8 - z3) Da uns die Punkte gleicher Krümmung interessieren, müssen wir nach r ableiten: OPD' = r5 (120 z15) + r3 (-120 z15 + 24 z8) + r (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) Eine Nullstelle ist offensichtlich immer bei r=0, also kann durch r dividiert werden: r4 (120 z15) + r2 (-120 z15 + 24 z8) + (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) = 0 Wir substituieren r2 = a a2 (120 z15) + a (-120 z15 + 24 z8) + (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) = 0
-30 z15 + 6 z8 6 z15 - 3 z8 + z3
15 z15 - 3 z8 +- sqrt(720 z152 - 270 z15 z8 + 36 z82
- 30 z15 z3)
Und daraus ergeben sich maximal zwei Zonen gleicher Krümmung:
( 15 z15 - 3 z8 +- sqrt(720 z152 - 270 z15 z8 + 36 z82
- 30 z15 z3) )
Wenn
es keine reellen Lösungen gibt, dann stimmt die Krümmung des
Spiegels an keiner Stelle mit der Krümmung der sphärischen Wellenfront
überein (ausgenommen in der Spiegelmitte).
Für den Sonderfall z15 = 0 ergibt sich folgende Lösung: a (24 z8) + (-12 z8 + 4 z3) = 0
3 z8 - z3
( 3 z8 - z3 )
|
| 6.
Zerlegung der Differenz zwischen Parabel und Sphäre in Zernike-Polynome,
zwecks Korrektur der interferometrischen Messung 6. Expressing the difference between parabola and sphere as Zernike polynomials, for correcting the interferometric measurement
Die Differenz zwischen Parabel und Sphäre in Reihendarstellung (hier
Fall 1):
x^4 x^6 5 x^8
mit x = Variable in radialer Richtung variable
in radial direction
Für die Umrechnung in Zernike-Polynome muss x auf den Bereich [0..1]
normiert werden,
r = 2 x / D bzw. x = r D / 2
mit D = Durchmesser des Spiegels diameter
of the mirror
Es ergibt sich diese Darstellung der Differenz zwischen Sphäre und
Parabel:
D^4 D^6
5 D^8
oder in kürzerer Schreibweise:
e = c4 r^4 + c6 r^6 + c8 r^8 + ...
mit c4 = - D^4 / (1024 f^3)
Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome
von Interesse:
P0 = 1
constant
mit r = radiale Variable im Bereich [0..1] radial
variable in range [0..1]
Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
e = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24 oder or
e = ( z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 ) +
wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 = 0
und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
z24 = c8 / 70
z0 - z3 + z8 - z15 =
- 1 z24
z15 = (c6 + 140 z24) / 20
z0 - z3 + z8 = - 1 z24
+ z15
z8 = (c4 - 90 z24 + 30 z15) / 6
z0 - z3 = -1 z24 + z15 - z8
z3 = (20 z24 - 12 z15 + 6 z8) / 2
z0 = - z24 + z15 - z8 + z3
Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
z24 = c8 / 70
oder ineinander eingesetzt: or:
z24 =
1/70 c8
mit den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
z24 =
- D^8 / (58720256 f^7)
oder or
z24 = -D (
1 / (58720256 N^7) )
mit N = f / D (Öffnungsverhältnis) (focal ratio)
Die Koeffizienten z0 und z3 werden nicht benötigt, weil sie von der
Justierung zwischen Sphäre
Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler
des Spiegels beziehen.
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
|
| 7.
Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels Phase Shift Interferometrie 7. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against a transmission sphere with a phase shifting Fizeau interferometer Beim
interferometrischen Test eines Parabolspiegels gegen eine Transmissions-Sphäre
kann es passieren
Die
Streifen-Dichte hängt direkt von der ersten Ableitung der Differenz
zwischen Sphäre und Parabel ab.
In
diesem Fall ist die Reihendarstellung der ersten Ableitung der Differenz
zwischen Sphäre und Parabel:
r D^2 ( 3 D^2
9 D^4 15 D^6
105 D^8 )
r^3 D^4 ( 1 3 D^2
9 D^4 15 D^6
105 D^8 ) 3
oder näherungsweise:
3 r D^4 r^3 D^4
oder
D^4
Diese Kurve hat zwei Extremwerte: This curve has two extreme points: Ein Maximum am Spiegelrand: a maximum at the edge of the mirror: e'(1) = D^4 / (1024 f^3) (Näherung) (Approximation) Und ein Minimum bei der 50% Zone: and a minimum at the 50% zone: e'(0.5) = -D^4 / (1024 f^3) (Näherung) (Approximation) Beide
Extremwerte haben den gleichen Absolutbetrag, also ist die Streifen-Dichte
an beiden Stellen gleich gross.
Der
Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen wird so berechnet:
lambda * D
mit lambda = Licht-Wellenlänge, typischerweise 632.8nm light
wavelength, typical 632.8nm
Für e'_max gilt: e'_max = D^4 / (1024 f^3) und damit ergibt sich:
256 lambda f^3
oder s
= 256 lambda N^3
Der
so ermittelte Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen muss jetzt
mit dem Auflösungsvermögen der
Der
Abstand zwischen zwei benachbarten Streifen sollte nicht kleiner als 4
Pixel sein.
s_min = 4 D / n mit
D = Durchmesser des Spiegels diameter
of the mirror
Wenn
man im Grenzfall s = s_min annimmt dann ergibt sich die minimal notwendige
Zeilenzahl:
D^4
oder or
D
mit
N = f / D (Öffnungsverhältnis) (focal
ratio)
Ein
paar Beispiele für die benötigte Anzahl der Video-Zeilen:
Die mit * versehenen Zeilenzahlen kennzeichnen die Fälle in denen
die Auflösung einer normalen
Ein
Parabolspiegel kann interferometrisch gegen eine Transmissions-Sphäre
geprüft werden, wenn die folgende
D
oder D
Welches
ist der optimale Fall mit der kleinsten Streifen-Dichte?
When testing a parabolic mirror against a transmission sphere, the resulting interferogram (which represents the difference between the sphere and the parabola) contains mainly the Z3 (focus) polynomial and the Z8 (spherical aberration) polynomial: e = Z3 (2 r^2 - 1) + Z8 (6 r^4 - 6 r^2 + 1) or e = r^4 (6 Z8) + r^2 (-6 Z8 + 2 Z3) + (Z8 - Z3) The
coefficient Z3 varies when the interferometer is moved along the optical
axis.
The fringe density is proportional to the first differential of this function: e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3) It
is obvious that the fringe density is always zero at r = 0, in the center
of the mirror.
e" = r^2 (72 Z8) + 1 (-12 Z8 + 4 Z3) = 0 The solution is:
( 1 Z3 )
Now we must calculate the values of e' for the maximum at r = 1 and for the minimum at r = r1 : e'(1) = 12 Z8 + 4 Z3
( 8 Z3 )
( 1 Z3 )
After setting e'(1) = -e'(r1) and numerically solving the equation, we get: Z3 = -1.5 Z8 Let's check this: e'(1) = 12 Z8 + 4 Z3 = 12 Z8 - 6 Z8 = 6 Z8 e'(r1) = ... = -6 Z8 it's correct! ************************
Next question: Which zone has zero fringe density? e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3) = 0 One solution is r = 0, so we can divide the equation by r: r^2 (24 Z8) + (-12 Z8 + 4 Z3) = 0 And the solution is: ********************************
Next question: Which zone has the biggest fringe density (besides the edge of the mirror)?
( 1 Z3 )
with Z3 = -1.5 Z8 The solution is: ***************************
Next question: What's the formula for the fringe density? e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3) with Z3 = -1.5 Z8 The fringe density is proportional to this formula: e' = 6 Z8 (4 r^3 - 3 r) and the difference e between sphere and parabola is proportional to: e
= 3 Z8 (2 r^4 - 3 r^2 + c)
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
|
| 8.
Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels statischer Interferometrie 8. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against a transmission sphere with static interferometry Bei statischer Interferometrie muss der zu testende Spiegel so weit verkippt werden, dass keine geschlossenen Ringe im Interferogramm auftauchen. Die
Streifen-Dichte hängt direkt von der ersten Ableitung der Differenz
zwischen Sphäre und Parabel ab.
In diesem Fall ist die Reihendarstellung der ersten Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
x^3 3 x^5 5 x^7
mit f = Brennweite der Parabel focal
length of the parabola
In
diesem Fall ist es sinnvoll die radiale Koordinate x auf den Bereich [0..1]
zu normieren, die neue Variable r ist 0 auf der optischen Achse und 1 am
Rand des Spiegels:
r = 2 x / D bzw. x = r D / 2 mit D = Durchmesser des Spiegels diameter of the mirror Und so bekommen wir die folgende Reihendarstellung für die erste Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
r^3 D^3 3 r^5 D^5 5 r^7 D^7
und mit der Definition für das Öffnungsverhältnis N = f / D vereinfacht sich die Reihe zu:
r^3 3 r^5
5 r^7
Die Extremwerte dieser Kurve liegen am Rand des Spiegels, bei r = -1 und bei r = 1 Statische
Interferometrie erfordert dass der Spiegel soweit verkippt wird, dass diese
Kurve monoton steigend ist.
-1 -3
-5
1 + r^3 3 (1 + r^5) 5 (1 + r^7)
Das Maximum dieser Kurve liegt bei r = 1:
1 3
5
Der
Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen wird so berechnet:
lambda
mit lambda = Licht-Wellenlänge, typischerweise 632.8nm light
wavelength, typical 632.8nm
Für e'_max gilt näherungsweise: e'_max = D^3 / (64 f^3) und damit ergibt sich:
32 lambda f^3
Der so ermittelte Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen muss jetzt
mit dem Auflösungsvermögen der
Der Abstand zwischen zwei benachbarten Streifen sollte nicht kleiner als
4 Pixel sein.
s_min = 4 D / n
mit D = Durchmesser des Spiegels diameter
of the mirror
Wenn man im Grenzfall s = s_min annimmt dann ergibt sich die minimal notwendige
Zeilenzahl:
D^4
oder or
D
mit N = f / D (Öffnungsverhältnis) (focal
ratio)
-->
Die benötigte Anzahl der Video-Zeilen ist 8 mal so gross wie bei Phase
Shift Interferometrie !
Ein
Parabolspiegel kann mit statischer Interferometrie geprüft werden,
wenn die Bedingung
D
erfüllt ist. Dabei wird die Anzahl der Video-Zeilen mit 240 angenommen,
und die Wellenlänge ist 633nm.
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
|
| 9.
Fehler durch Temperatur-Schichtung in der Luft
Errors due to Temperature Gradient in the Air Zusammenhang
zwischen Luft-Temperatur und Brechungsindex:
n = 1 + 0.000293246 (273.15K / T) (p / 1013hPa) mit
n = Brechungsindex Index of refraction
oder: or: n
= 1 + 0.0801K / T
Die
oben genannte Formel ist nur eine Näherung. Der folgende Online-Kalkulator
liefert genauere Werte:
http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Edlen.asp
Bei
einer gleichmässigen Temperaturschichtung hängt die Temperatur
linear von der Höhe ab:
T = T0 + y * (dT/dy) wobei
(dT / dy) eine Konstante ist.
Der
Gradient des Brechungsindex ist dann:
-0.0801K * (dT/dy)
und
wenn die Temperaturdifferenz klein gegenüber der Temperatur ist, dann
vereinfacht sich die Formel zu:
-0.0801K * (dT/dy)
Der
Brechungsindex-Gradient bewirkt eine Krümmung des Lichtstrahls in
Richtung zum optisch dichteren Medium hin:
r = n / n' mit
r = Krümmungsradius Radius of curvature
n * T02
Ein
Beispiel um die Grössenordnung zu zeigen:
T0
=
293.15K (Raumtemperatur 20°C)
n * T02
1.000293246 * (293.15K)2
Noch
ein Beispiel:
T0
=
293.15K (Raumtemperatur 20°C)
n * T02
1.000293246 * (293.15K)2
Thanks to Dave Schaack who did simulate the following two examples with ZEMAX: A spherical mirror (d=500mm, f=2000mm) is tested from the center of curvature with an interferometer, with horizontal optical axis. The focal point of the transmission sphere is assumed to be a perfect point source. ZEMAX calculates the wavefront error when the wave comes back to this point. The first simulation is for a constant temperature gradient without nonlinearity: "I
decided to use 3.8e-7 per meter as a gradient. Double passing through the
gradient from and to a point object gives coma, not astigmatism!
About 1/200 wave peak to valley. ...
The
second simulation is for the same mirror, but now with a nonlinear temperature
gradient:
"For
documentation purposes, the ZEMAX Gradient 4 surface uses this equation:
Nominal
case is 250 mm semidiameter (SD), 4000 mm radius, Ny2 = 4.6387e-13.
From
the first 3 cases, it is clear that the astigmatism goes as the
Wie
kann der entstehende Astigmatismus für Spiegel mit anderen Abmessungen
abgeschätzt werden?
ASTI = D2 * f * NL * 1282 / L mit
ASTI = Astigmatismus in waves peak to valley in der gemessenen Wellenfront,
bei 550nm
Man
beachte: die drei Höhen sind fest vorgegeben, und der Durchmesser
des Spiegels kann anders sein!
|
| 10.
Asphären-Test durch Zusammensetzen mehrerer Interferogramme
Asphere Testing by Stitching Interferometry Exakte Lösung: Exact Solution: OPD = sqrt((R + dR)2 - c2 x2) - sqrt(R2 - x2) mit
x = radiale Variable Variable in radial
direction
Dabei
ist c eine Konstante welche die Massstabs-Änderung des Interferogramms
beschreibt. Wenn der Abstand zwischen Interferometer und Spiegel um dR
vergrössert wird, dann wird der Durchmesser des Interferogramms etwas
kleiner.
Wenn
die radiale Variable auf den halben Durchmesser normiert wird dann sieht
es so aus:
r = 2x / D x = r D/2 OPD = sqrt((R + dR)2 - c2 r2 D2 / 4) - sqrt(R2 - r2 D2 / 4) Das
ist die theoretisch zu erwartende OPD, wenn der Abstand zwischen Spiegel
und Transmissions-Sphäre um dR vergrössert wird.
Näherungslösung mit Reihenentwicklung: Approximation with power series: Eine Sphäre als Reihenentwicklung: A sphere as a power series:
x^2 x^4 x^6
5 x^8 7 x^10 21 x^12
mit R = Krümmungsradius der Sphäre Sphere's
radius of curvature
oder mit x = r D/2
r^2 D^2 r^4 D^4 r^6 D^6 5 r^8
D^8
Hierbei
r die normierte radiale Variable in Bereich [0..1]
Betrachten
wir jetzt die Differenz zweier Sphären mit den Krümmungsradien
(R+dR) und R:
c^2 r^2 D^2 r^2 D^2 c^4 r^4 D^4
r^4 D^4 c^6 r^6 D^6 r^6 D^6
oder or
( c^2 D^2 D^2 ) (
c^4 D^4 D^4 )
( c^6 D^6 D^6
)
oder
mit c = R / (R+dR): (Sonderfall c = 1 siehe weiter unten)
( R^2 D^2 D^2 )
( R^4 D^4 D^4
) ( R^6 D^6
D^6 )
oder or OPD = c2 r^2 + c4 r^4 + c6 r^6 + ... mit with
R^2 D^2 D^2
R^3 - (R+dR)^3
R^4 D^4 D^4
R^7 - (R+dR)^7
R^6 D^6 D^6
R^11 - (R+dR)^11
Diese
Koeffizienten sollen nun in Zernike-Koeffizienten ungerechnet werden.
Offensichtlich
sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
P0
= 1
constant
mit
r = radiale Variable im Bereich [0..1] radial
variable in range [0..1]
Die
Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
OPD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 oder or e
= ( z0 - z3 + z8 - z15 ) +
wobei
z0, z3, z8, z15 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
Durch
Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
z0 - z3 + z8 - z15 = 0
und
das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
z15 = c6 / 20
z0 - z3 + z8 =
z15
z8 = (c4 + 30 z15) / 6
z0 - z3 = z15
- z8
z3 = (c2 -12 z15 + 6 z8) / 2
z0 = z15 - z8 + z3
Zusammengefasst
ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
z15 = c6 / 20
oder ineinander eingesetzt: or:
z15 =
1/20 c6
Der
Koeffizient z0 wird nicht benötigt.
Mit
den ursprünglichen Werten für c2, c4, c6 ergibt sich:
R^11 - (R+dR)^11
R^7 - (R+dR)^7 R^11 - (R+dR)^11
R^3 - (R+dR)^3 R^7 - (R+dR)^7
9 (R^11 - (R+dR)^11)
Man
beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler
des Spiegels beziehen.
dz3
3 D^2
dz8
7 D^4
oder
mit R / D = 2N
dz3
144 N^2
Sonderfall c = 1: Special case c = 1: Betrachten
wir jetzt die Differenz zweier Sphären mit den Krümmungsradien
(R+dR) und R:
r^2 D^2 r^2 D^2 r^4 D^4
r^4 D^4 r^6 D^6
r^6 D^6
oder or
( D^2 D^2 )
( D^4
D^4 ) (
D^6 D^6
)
oder or OPD = c2 r^2 + c4 r^4 + c6 r^6 + ... mit with
D^2 D^2
-dR
D^4 D^4
-3 R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3
D^6 D^6
-5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
Diese
Koeffizienten sollen nun in Zernike-Koeffizienten ungerechnet werden.
Offensichtlich
sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
P0
= 1
constant
mit
r = radiale Variable im Bereich [0..1] radial
variable in range [0..1]
Die
Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
OPD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 oder or e
= ( z0 - z3 + z8 - z15 ) +
wobei
z0, z3, z8, z15 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
Durch
Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
z0 - z3 + z8 - z15 = 0
und
das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
z15 = c6 / 20
z0 - z3 + z8 =
z15
z8 = (c4 + 30 z15) / 6
z0 - z3 = z15
- z8
z3 = (c2 -12 z15 + 6 z8) / 2
z0 = z15 - z8 + z3
Zusammengefasst
ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
z15 = c6 / 20
oder ineinander eingesetzt: or:
z15 =
1/20 c6
Der
Koeffizient z0 wird nicht benötigt.
mit
den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
-5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
-3 R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3 -5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2
dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
-dR -3
R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3 9( -5 R^4
dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5)
Man
beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler
des Spiegels beziehen.
dz3
D^2
dz8
D^4
dz3
16 R^2
oder
mit R / D = 2N
dz3
dR
16 R^2
dR
dR
dR
dR
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
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| 11.
Teststand-Fehler Test
Stand Aberrations
Da
Hohlspiegel meist mit horizontal liegender optischer Achse getestet werden
kann es sein dass sich der Spiegel unter seinem eigenen Gewicht verformt,
weil die Vorderseite ausgehöhlt ist und die Rückseite flach ist.
Betrachten wir zunächst einmal die ersten 9 Zernike-Polynome: z[0]
= 1
constant
r
ist die radiale Variable im Bereich [0..1], 0 auf der optischen Achse,
1 am Spiegelrand
Achtung,
der Nullpunkt und die Drehrichtung ist NICHT bei allen Software-Programmen
so definiert!
Die
Terme Z0, Z1 und Z2 interessieren uns hier nicht, weil sie sowieso abgezogen
werden können.
Fall 1: Bestimmund des Teststand-Astigmatismus Der Teststand-Astigmatismus sollte sich theoretisch nur im Polynom Z4 bemerkbar machen, und zwar so dass der Wert von Z4 unabhängig vom Drehwinkel immer um einen bestimmten Betrag zu gross (oder zu klein) gemessen wird. z4_m = z4_sp + z4_ts mit
z4_m = gemessener Wert z4
Der andere (um 45 Grad verdrehte) Astigmatismus-Koeffizient z5 wird hingegen NICHT vom Teststand-Astigmatismus beeinflusst. Begründung: Teststand-Astigmatismus muss spiegelsymmetrisch zur vertikalen (y) Achse sein, aber die Sinusfunktion in z[5] ist nicht spiegelsymmetrisch zu dieser Achse. Es werden zwei Messungen gemacht. Bei der zweiten Messung wird der Spiegel um genau 90 Grad gedreht. Die Drehrichtung ist egal. Bei einer Drehung um 90 Grad wechseln sowohl z4_sp wie auch z5_sp das Vorzeichen. Bei einer Drehung um 180 Grad würde sich an den Koeffizienten Z4 und Z5 gar nichts ändern. Erste
Messung:
Zweite
Messung, Spiegel um 90 Grad verdreht:
Wir haben 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also kann man z4_sp, z4_ts und z5_sp berechnen: Teststand-Astigmatismus: z4_ts = (z4_m0 + z4_m90) / 2 Wahrer
Zernike-Koeffizient z4 des Spiegels: z4_sp = (z4_m0 - z4_m90)
/ 2
Die beiden Messungen von z5 sollten eigentlich bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Zur Verbesserung der Messgenauigkeit kann man den Mittelwert bilden: z5_sp
= (z5_m0 - z5_m90 ) / 2
Der Betrag des Spiegel-Astigmatismus ergibt sich dann zu: AST = sqrt( z4_sp^2 + z5_sp^2 ) Um
diesen Wert in Peak to Valley (PV) umzurechnen, muss man noch mit dem Faktor
2 multiplizieren.
Fall 2: Bestimmung der Teststand-Coma Die Teststand-Coma sollte sich theoretisch nur in z6 bemerkbar machen, und zwar so dass der Wert von z6 unabhängig vom Drehwinkel immer um einen bestimmten Betrag zu gross (oder zu klein) gemessen wird. z6_m = z6_sp + z6_ts mit
z6_m = gemessener Wert z6
Der andere (um 90 Grad verdrehte) Coma-Koeffizient z7 wird hingegen NICHT von der Teststand-Coma beeinflusst. Begründung: Teststand-Coma muss spiegelsymmetrisch zur vertikalen (y) Achse sein, aber die Sinusfunktion in z[7] ist nicht spiegelsymmetrisch zu dieser Achse. Es werden zwei Messungen gemacht. Bei der zweiten Messung wird der Spiegel um genau 180 Grad gedreht, wobei z6_sp und z7_sp das Vorzeichen wechseln, wegen sin(x) = -sin(x+pi) Erste
Messung:
Zweite
Messung, Spiegel um 180 Grad verdreht:
Wir haben 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also kann man z6_sp und z6_ts berechnen: Teststand-Astigmatismus: z6_ts = (z6_m0 + z6_m180) / 2 Wahrer Zernike-Koeffizient z6 des Spiegels: z6_sp = (z6_m0 - z6_m180) / 2 Die beiden Messungen von z7 sollten eigentlich bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Zur Verbesserung der Messgenauigkeit kann man den Mittelwert bilden: z7_sp
= (z7_m0 - z7_m180 ) / 2
Der Betrag der Spiegel-Coma ergibt sich dann zu: COM = sqrt( z6_sp^2 + z7_sp^2 ) Um
diesen Wert in Peak to Valley (PV) umzurechnen, muss man noch mit dem Faktor
2 multiplizieren.
The
two Zernike polynomials for coma:
The
measured coma coefficients (z6_m, z7_m) consist of two parts, one from
the mirror (z6_mi, z7_mi) and one from the test stand (z6_ts, z7_ts):
If the mirror is turned 180 degrees, the mirror's coma coefficients will change sign, because sin(x) = -sin(x+pi) In
the first measurement (at 0 degrees), we measure:
In
the second measurement (at 180 degrees), we measure:
Now
we have 4 equations with 4 unknowns. The solution is:
The
same algorithm can be uesed for all other Zernike terms too (except the
spherical terms of course). If the polynomial contains sin(n*t) or cos(n*t),
the required rotation angle is (180/n) degrees.
Wer
Fehler findet möge mir das bitte sagen!
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| 12.
Ritchey-Common Test
Die folgende Bedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz, wenn man den Messaufbau von der Seite betrachtet: D_SP
R
mit
D_SP = Durchmesser der Sphäre
daraus ergeben sich folgende Relationen: D_SP >= D_FL * R / A d.h. die Sphäre muss einen gewissen Mindest-Durchmesser haben D_FL <= D_SP * A / R d.h. der Durchmesser der Planfläche darf eine gewisse Grösse nicht überschreiten A
>= R * D_FL / D_SP d.h. der Abstand vom Krümmungsmittelpunkt
zur Mitte der Planfläche darf nicht zu klein sein.
Wenn man den Messaufbau von oben betrachtet, dann sehen die geometrischen Verhältnisse sehr viel komplizierter aus, weil dann nur noch ein Teil der Sphäre verwendet wird (unter der Annahme dass der Planspiegel rund ist). Tabelle
für den kleinsten möglichen Einfallswinkel auf der Planfläche,
unter der Annahme dass die gesamte Oberfläche der Sphäre verwendet
wird: (Einfallswinkel = Winkel zwischen optischer Achse und dem Lot
auf der Planfläche)
Falls
der Planspiegel rund ist, wird von oben gesehen nur ein Teil der Sphäre
verwendet. Das hat zur Folge, dass der Einfallswinel noch etwas kleiner
sein kann als in der Tabelle angegeben.
Problem: Bei unverspiegelten Planflächen ist der Streifen-Kontrast sehr schlecht, weil der Test-Strahl zweimal an der zu testenden Fläche reflektiert wird. Der Reklektionsgrad (für unpolarisiertes Licht) hängt vom Brechungsindex und vom Einfallswinkel ab:
tan^2(E-E') sin^2(E-E')
mit
E = Einfallswinkel (Winkel zwischen optischer Achse und dem Lot auf
der Planfläche)
Tabelle
für den Reflektionsgrad an einer Luft/Zerodur Fläche, für
verschiedene Einfallswinkel:
I've
written a paper about a special version of the Ritchey-Common test, where
the flat is tested under different angles of incidence. Available upon
request by e-mail.
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Fehler findet möge mir das bitte sagen!
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| 13.
Der Zusammenhang zwischen Oberflächen- und Wellenfrontfehlern
The Relationship between Surface Errors and Wavefront Errors Wenn in einer optischen Oberfläche ein Fehler der Höhe F befindet, dann wird die Wellenfront von diesem Fehler beeinflusst. Es besteht eine Anhängigkeit vom Einfallswinkel alpha. Der Einfallswinkel ist definiert als der Winkel zwischen der optischen Achse und dem Lot auf der optischen Fläche. Man muss drei Fälle unterschieden: Fall 1: Reflektion an einer fehlerhaften spiegelnden Oberfläche OPD = 2 * F * cos(alpha)
bei senkrechtem Lichteinfall: OPD = 2 * F
Fall 2: Refraktion an einer fehlerhaften Trennfläche n1 --> n2 OPD = F / n2 * ( sqrt( n2^2 - n1^2 * sin^2(alpha) ) - n1 * cos(alpha) )
bei senkrechtem Lichteinfall: OPD = F * (n2-n1) / n2
Fall 3: Durchgang einer bereits gestörten Wellenfront OPD1 durch eine fehlerfreie Trennschicht n1 --> n2 OPD2 = OPD1 * (n1 / n2) Fall
3 ist unabhängig vom Einfallswinkel.
Wichtig:
Beispiele: Spiegel
bei senkrechtem Lichteinfall (alpha = 0°): OPD = 2 * F
Senkrechter
Durchgang durch eine fehlerhafte Luft/Glas Fläche (n=1 / n=1.5):
Rechtwinkliges
Prisma n=1.5, Oberflächenfehler auf Hypotenuse:
--> Bei einem Spiegel unter 45° Lichteinfall wäre der Wellenfront-Fehler etwas kleiner als beim Prisma. Rechtwinkliges
Prisma n=1.5, Oberflächenfehler auf Kathete:
--> Bei rechtwinkligen Prismen wirkt sich ein Fehler in der Hypotenuse etwa vier mal stärker aus als ein Fehler in einer der Katheten. Licht
trifft unter 45° auf eine fehlerhafte Glasfläche n=1.5:
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Fehler findet möge mir das bitte sagen!
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| 14.
Astigmatische Verspannung eines Spiegels
Astigmatic Deformation of a Mirror Zusammenhang
zwischen astigmatischer Brennweiten-Differenz und Wellenfrontfehler
Wenn
ein Parabol-Spiegel Astigmatismus hat, dann hat er in unterschiedlichen
Schnittebenen
D^2 * delta_f delta_f delta_R
* D^2
und der Wellenfront-Fehler ist doppelt so gross:
D^2 * delta_f delta_f delta_R
* D^2
Das sind Näherungsformeln für delta_f << f. mit
D = Durchmesser des Spiegels (diameter
of mirror)
Astigmatische Verspannung einer runden Platte, Krafteinleitung an 4 Punkten am Umfang
c * F * D^2
oder
2 * PV_Surf * PlSt
mit
Die Formel basiert auf dem Buch von Stephen P. Timoshenko, "Therory of Plates and Shells", Seite 294 Die
Kraft F ist die Summe der Kräfte, die bei den Positionen 0 und 180
Grad am Rand auf die Platte einwirken.
Die Konstante c hängt von der Poisson-Zahl ab:
Biegesteifigkeit der Platte:
E * h^3
mit
Materialkonstanten:
Astigmatische Verspannung, Durchbiegung an jeder beliebigen Stelle der Platte:
2 * F * D^2
unendlich [ ( 1
2 (1 + v) r^2
)
]
mit
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| 15.
Genauigkeit von Fizeau Interferometer Objektiven
Accuracy of Fizeau Interferometer Objectives
|
| 16.
Verzeichnung in Interferogrammen Distortion
in Interferograms
r' is the radial coordinate in an interferogram which is defined over the unit circle: 0 < r' < 1 This interferogram is mapped to a distorted interferogram, where r is the radial coordiante: r = a * r'^2 + (1 - a) * r' The
distorted interferogram is also defined over the unit circle: 0 < r
< 1
We will also need some powers of r soon: r'^2
= a^2 * r^4 + 2 * (a - a^2) * r^3 + (1 - 2*a + a^2) * r^2
Now let's assume we have an interferogram (or a wavefront W) which represents only a power (or focus) term: W = Z3 * (-1 + 2 * r'^2) If we write this equation in terms of r, we get: W
= Z3 * (-1 + 2 * (a^2 * r^4 + 2 * (a - a^2) * r^3 + (1 - 2*a + a^2) * r^2))
Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome
von Interesse:
P0 = 1
constant
mit r = radiale Variable im Bereich [0..1] radial
variable in range [0..1]
Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
e = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24 oder or
e = ( z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 ) +
wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 = 0
und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
z24 = c8 / 70
z0 - z3 + z8 - z15 =
- 1 z24
z15 = (c6 + 140 z24) / 20
z0 - z3 + z8 = - 1 z24
+ z15
z8 = (c4 - 90 z24 + 30 z15) / 6
z0 - z3 = -1 z24 + z15 - z8
z3 = (20 z24 - 12 z15 + 6 z8) / 2
z0 = - z24 + z15 - z8 + z3
Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
z24 = c8 / 70
oder ineinander eingesetzt: or:
z24 =
1/70 c8
mit den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
z24 =
D^8 / (58720256 f^7)
oder or
z24 = D (
1 / (58720256 N^7) )
mit N = f / D (Öffnungsverhältnis) (focal ratio)
Die Koeffizienten z0 und z3 werden nicht benötigt, weil sie von der
Justierung zwischen Sphäre
Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler
des Spiegels beziehen.
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| 17.
Kurven anpassen
Curve Fitting
Fitting a straight line through two points: y1
= a x1 + b
a = (y1 - y2) / (x1 - x2) b
= y1 - a x1
Fitting a parabola through three points: y1
= a x12 + b x1 + c
(y1-y2) (x1-x3) - (y1-y3)
(x1-x2)
y1 - y2 - a (x12-x22)
c = y1 - a x12 - b x1
|
| 18.
Berechnungen zum Tilted Wave Interferometer
Angenommen
eine beliebige Asphäre hat ihren Scheitelpunkt bei (0,0) und ein Punkt
auf ihrer Oberfläche liegt bei (x1,y1) und die Oberfläche hat
in diesem Punkt die Steigung m.
y - y1 = -1 / m * (x - x1) oder y = y1 - 1/m * (x - x1) Wir
betrachten jetzt eine Ebene y=y2, in der sich eine punktförmige Lichtquelle
befindet.
Der Punkt (0,y2) soll an der Normalen gespiegelt werden, das ergibt Punkt 5. Zunächst wird der dazwischenliegende Punkt 4 berechnet, der auf der Normalen liegt. Die Verbindungslinie von Punkt 2 nach Punkt 4 (und Punkt 5) hat die Gleichung: y = m * x + y2 Durch gleichsetzen mit der Gleichung der Normalen erhält man die x-Koordinate von Punkt 4: x4 = (x1 + m * (y1 - y2)) / (m^2 + 1) Punkt 5 ist von Punkt 2 genau doppelt so weit entfernt wie Punkt 4, daher gilt: x5
= 2 * x4
Punkt 5 liegt ebenso auf dem reflektieten Strahl wie der gesuchte Punkt 3. Daher gilt: (x1 - x5) / (y1 - y5) = (x1 - x3) / (y1 - y3) und daraus ergibt sich das gesuchte x3: x3
= x1 + (x1 - x5) * (y2 - y1) / (y1 - y5)
Im Sonderfall einer Parabel vereinfachen sich die Formeln wie folgt: y1 = x1^2 / (4 * f) m = x1 / (2 * f) x4 = x1 * (8 f^2 + x1^2 - 4 f y2) / (2 x1^2 + 8 f^2) x5
= x1 * (8 f^2 + x1^2 - 4 f y2) / (x1^2 + 4 f^2)
x3 = x1 + (x1 - x5) * (y2 - y1) / (y1 - y5)
|
| 19.
Darstellung einer ungleichmäßig dick aufgedampften Aluminium-Schicht
als Zernike-Polynome
Wenn
eine Aluminium-Schicht auf einen Spiegel aufgedampft wird, dann ist die
Schicht nicht an allen Stellen gleich dick. Wir nehmen an, dass der Verdampfer
punktförmig ist und sich in einem Abstand a über der Mitte des
Spiegels befindet. Die Schicht wird dann in der Mitte des Spiegels am dicksten,
und zum Rand hin dünner.
Die Schichtdicke an einer beliebigen Stelle (normiert auf die Dicke in der Spiegelmitte) wird so berechnet: SD = (1 + d^2)^(-3/2) d = x / a mit
x = radiale Koordinate auf dem Spiegel
Die Schichtdicke kann auch als Reihenentwicklung dargestellt werden:
3 15
35 315
Für den Vergleich mit Zernike-Polynomen ist die radiale Variable d aber ungeeignet. Wir benötigen stattdessen eine radiale Variable r die im Intervall [0..1] liegt. Es gilt der Zusammenhang: d = c * r mit c = D/(2*a) D = Spiegel-Durchmesser Damit sieht die Reihenentwicklung so aus:
3
15
35
315
Offensichtlich
sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
P0 = 1
constant
Die Schichtdicke SD soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden: SD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24 oder or SD
= ( z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 ) +
wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
z0 - z3 + z8 - z15 +
z24 = 1
Die Variablen a1 bis a4 wurden temporär eingeführt um die Lösung
des Gleichungssystems zu vereinfachen.
z24 = 1/70 a4
z0 - z3 + z8 - z15 = 1
- 1/70 a4
z15 = 1/20 a3 + 1/7 a4
z0 - z3 + z8 = 1 + 1/20 a3 + 9/70 a4
z8 = 1/6 a2 + 1/4 a3 + 1/2 a4
z0 - z3 = 1 - 1/6 a2 - 1/5 a3 - 2/5 a4
z3 = 1/2 a1 + 1/2 a2 + 9/10 a3 + 11/14 a4 z0 = 1 + 1/2 a1 + 1/3 a2 + 1/4 a3 + 27/70 a4
Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
z0 = 27/70 a4 + 1/4 a3 + 1/3 a2 + 1/2 a1 + 1
Für a1 bis a4 werden jetzt wieder die ursprünglichen Werte eingesetzt:
z0 = 1 - 3/4 c^2 + 5/8 c^4 - 35/64 c^6 + 243/256 c^8
Wir erinnern uns das c wie folgt definiert ist:
c = D/(2*a)
======================================================================================================= Beispiel:
D = 300mm, a = 400mm
z0 = 1 - 0.1055 + 0.0124 - 0.0015 + 0.0004 = 0.9058
Z0 ist positiv und entspricht der mittleren Schichtdicke, bezogen auf den
Wert 1.0 in der Spiegelmitte.
Z3 ist negativ, das bedeutet aus einer Planfläche würde eine
leicht konvexe Fläche werden.
Für eine eventuelle Beeinträchtigung der Abbildung ist nur die
sphärische Aberration Z8 von Bedeutung.
Wenn Z8 bereits vernachlässigbar klein ist, dann gilt das erst Recht für Z15 und Z24. =======================================================================================================
|
| 20.
Über- und Unterkorrektur, Z8
Bei einer Messung in Autokollimation beschreibt der Zernike-Koeffizient Z8 den Korrekturgrad: Z8 positiv: Unterkorrektur (hochstehender Rand und hochstehende Mitte) Z8 negativ: Überkorrektur (hochstehende 70% Zone) Wie berechnet man zu einem in Autokollimation gemessenen Z8 Wert die konische Konstante eines Parabolspiegels? Wenn der Spiegel sphärisch wäre, dann würden wir am Stern oder in Autokollimation eine sehr große sphärische Aberration sehen, und deren Größe kann man berechnen: Z8 = D^4 / (3072 * f^3) (Herleitung siehe oben, Nr. 6) Beispiel: D=357.6mm und f=996.5mm Z8 = 0.00538mm = 8.498 waves bei 633nm Wir müssen nun den gemessenen Z8 Wert 0.057 durch 8.498 teilen und erhalten 0.0067. Das ist der Betrag der an CC=-1 fehlt. Der Spiegel hat also CC = -1 + 0.0067 = -0.9933 |